6. Докажите, что при любом значении n ∈ ℤ значение выражения: а) n² − 3n − 6 кратно 2; б) 2n³ − 5n + 9 кратно 3.

а) По модулю 2: \(n^2-3n-6\equiv n^2-n=n(n-1)\pmod2\). Среди двух последовательных целых чисел \(n\) и \(n-1\) одно чётное, поэтому произведение делится на 2.

б) По модулю 3: \(2n^3-5n+9\\equiv2n^3+n=n(2n^2+1)\\pmod3\). Если \(n\equiv0\pmod3\), выражение равно нулю по модулю 3. Если \(n\equiv1\pmod3\), то \(2n^2+1\equiv0\pmod3\); если \(n\equiv-1\pmod3\), то также \(2n^2+1\\equiv0\pmod3\). Значит, выражение делится на 3 при любом целом \(n\).