1. Из выражений 11n − 121n², 22n + 21, 55n + 11, 10n + 121, 11n² − 2n выпишите те, которые: а) делятся на 11 при любом значении n ∈ ℤ; б) не делятся на 11 при любом значении n ∈ ℤ; в) делятся на 11 при некоторых значениях n ∈ ℤ (при каких?).

Question

Вопрос:

Фото задания: 1. Из выражений 11n − 121n², 22n + 21, 55n + 11, 10n + 121, 11n² − 2n выпишите те, которые: а) делятся на 11 при любом…

1. Из выражений 11n − 121n², 22n + 21, 55n + 11, 10n + 121, 11n² − 2n выпишите те, которые: а) делятся на 11 при любом значении n ∈ ℤ; б) не делятся на 11 при любом значении n ∈ ℤ; в) делятся на 11 при некоторых значениях n ∈ ℤ (при каких?).

Accepted Answer

Рассмотрим выражения по модулю 11:

\(11n-121n^2\equiv0\pmod{11}\), поэтому выражение делится на 11 при любом целом \(n\).
\(22n+21\equiv10\pmod{11}\), поэтому оно не делится на 11 ни при каком целом \(n\).
\(55n+11\equiv0\pmod{11}\), поэтому выражение делится на 11 при любом целом \(n\).
\(10n+121\equiv-n\pmod{11}\), поэтому оно делится на 11 тогда и только тогда, когда \(n\) делится на 11.
\(11n^2-2n\equiv-2n\pmod{11}\), поэтому оно делится на 11 тогда и только тогда, когда \(n\) делится на 11.

Ответ: а) \(11n-121n^2\), \(55n+11\); б) \(22n+21\); в) \(10n+121\) и \(11n^2-2n\) при \(n=11k\), где \(k\in\mathbb Z\). Эти два выражения также делятся на 11 при любом таком \(n\).