5. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD, АВ = 12 см, ∠A = 60°, ∠CBD = 30°. Найдите отрезок CD.

Задание 5. Нахождение отрезка CD в треугольнике

Дано:

• Треугольник ABC.
• Высота BD.
• \( AB = 12 \) см.
• \( \angle A = 60^\circ \).
• \( \angle CBD = 30^\circ \).

Найти: отрезок \( CD \).

Решение:

1. Работаем с прямоугольным треугольником ABD:

Так как BD — высота, то \( \angle ADB = 90^\circ \).

Найдем катет AD:

\[ \cos A = \frac{AD}{AB} \]

\[ AD = AB \cdot \cos A = 12 \text{ см} \cdot \cos 60^\circ = 12 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]

Найдем высоту BD:

\[ \sin A = \frac{BD}{AB} \]

\[ BD = AB \cdot \sin A = 12 \text{ см} \cdot \sin 60^\circ = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Работаем с прямоугольным треугольником BDC:

Так как BD — высота, то \( \angle BDC = 90^\circ \).

У нас есть \( BD = 6\sqrt{3} \) см и \( \angle CBD = 30^\circ \).

Найдем катет CD:

\[ g \angle CBD = \frac{CD}{BD} \]

\[ CD = BD \cdot g \angle CBD = 6\sqrt{3} \text{ см} \cdot g 30^\circ \]

\[ CD = 6\sqrt{3} \text{ см} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 \text{ см} \]

Ответ: Отрезок CD равен 6 см.