5. Тип 5 № 383595 i Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертеж передней панели печи показан на рисунке 2. Рис. 1 Рис. 2 Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим рисунок 2. Мы видим, что ширина арки (основание) равна 60 см, а высота от основания до верхней точки арки составляет 40 см. Арка является частью окружности.
2. Центр окружности находится в середине нижней части кожуха. Радиус (R) проведенный к краю арки, является гипотенузой прямоугольного треугольника.
3. Один катет этого треугольника равен половине ширины арки, то есть 60 см / 2 = 30 см.
4. Другой катет равен высоте арки минус радиус. Однако, проще заметить, что если провести радиус от центра к верхней точке арки, то он будет равен R. Высота арки (40 см) состоит из радиуса (R) и отрезка от центра до основания арки. Но центр находится на уровне основания, значит, высота арки до центра будет 0.
5. Давайте переосмыслим. Центр окружности находится в середине нижней части кожуха. Арка - это часть окружности. Радиус R. Верхняя точка арки находится на высоте 40 см от основания. Ширина арки - 60 см.
6. Представим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это радиус R. Один катет - половина ширины арки, т.е. 30 см. Другой катет - это расстояние от центра до уровня, где проходит хорда шириной 60 см.
7. Если центр окружности находится в середине нижней части кожуха, то расстояние от центра до верхней точки арки равно R. Высота арки от основания до верхней точки равна 40 см.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный: 1) радиусом (R) от центра к краю арки (гипотенуза); 2) половиной ширины арки (30 см) как одним катетом; 3) расстоянием от центра до середины хорды (60 см) как другим катетом.
9. Если центр в середине нижней части, то расстояние от центра до верхней точки арки равно R. Высота арки (40 см) = R.
10. В этом случае, прямоугольный треугольник будет иметь: гипотенузу R, один катет 30 см. Второй катет будет равен R - 40 см.
11. По теореме Пифагора: R^2 = 30^2 + (R - 40)^2
12. R^2 = 900 + R^2 - 80R + 1600
13. 0 = 900 - 80R + 1600
14. 80R = 2500
15. R = 2500 / 80
16. R = 250 / 8
17. R = 125 / 4
18. R = 31.25 см

Ответ: 31.25 см