5. Среда. Тема: «Свойства числовых неравенств». Исходя из того, что a > b, сравни: 1) a + 3 ub + 3; 2) a - 2 ub - 2; 3) a - x ub - x; 4) b + 3 na + 3; 5) 2a u 2b; 6) -3a u -3b; 7) -a u -b; 8) -a + 4 u b + 4; 9) a + 10 ub + 10; 10) a ub - 5; 11) a/4 ub/4; 12) 2a u 2b; 13) -a - 1 u -b - 1; 14) a - 1 ub - 1. Для самоконтроля Знак исходного неравенства изменится в заданиях: 4, 6-8, 11, 13, 14. Обоснуйте изменение знака, применив свойства числовых неравенств.

Решение:

По условию \( a > b \).

1. \( a + 3 > b + 3 \) (прибавили к обеим частям число 3)
2. \( a - 2 > b - 2 \) (вычли из обеих частей число 2)
3. \( a - x > b - x \) (вычли из обеих частей число x)
4. \( b + 3 < a + 3 \) (изменили знак неравенства, так как сравнение было обратным: \( b+3 \) и \( a+3 \), а \( b < a \))
5. \( 2a > 2b \) (обе части неравенства \( a > b \) умножили на 2)
6. \( -3a < -3b \) (обе части неравенства \( a > b \) умножили на -3, знак неравенства изменился)
7. \( -a < -b \) (обе части неравенства \( a > b \) умножили на -1, знак неравенства изменился)
8. \( -a + 4 > b + 4 \) (изменили знак неравенства, так как \( -a < -b \), а потом прибавили 4)
9. \( a + 10 > b + 10 \) (прибавили к обеим частям число 10)
10. \( a > b - 5 \) (поскольку \( b < a \), то \( b-5 \) будет меньше \( a \))
11. \( \frac{a}{4} > \frac{b}{4} \) (обе части неравенства \( a > b \) разделили на 4)
12. \( 2a > 2b \) (обе части неравенства \( a > b \) умножили на 2)
13. \( -a - 1 < -b - 1 \) (изменили знак неравенства, так как \( -a < -b \), а потом вычли 1)
14. \( a - 1 > b - 1 \) (вычли из обеих частей число 1)

Обоснование изменения знака:

Знак исходного неравенства \( a > b \) изменится, если:

• обе части неравенства умножить на отрицательное число (задания 6, 12).
• обе части неравенства разделить на отрицательное число.
• из обеих частей неравенства вычесть одно и то же число, если это число отрицательное.
• к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, если это число отрицательное.

В заданиях 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14 знак неравенства изменяется потому, что мы либо умножаем/делим на отрицательное число, либо осуществляем действие, которое приводит к такому же результату, как если бы мы умножали/делили на отрицательное число.

Ответ: 1) >; 2) >; 3) >; 4) <; 5) >; 6) <; 7) <; 8) >; 9) >; 10) >; 11) >; 12) >; 13) <; 14) >.