11. Вторник. Тема: «Параллелограмм». 1. Сформулируй определение, свойства и признаки параллелограмма. 2. Реши задачи: а) Один из углов параллелограмма равен 32°. Найди остальные углы параллелограмма. б) В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что AO — медиана треугольника BAD, а BO — медиана треугольника ABC. Докажи, что ABCD — параллелограмм.

Решение:

1. Параллелограмм:

Определение: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

• Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
• Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \) и \( \angle B = \angle D \).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \), \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \) и т.д.
• Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам: \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

Признаки:

• Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Задачи:

а) Нахождение остальных углов параллелограмма:

Пусть \( \angle A = 32^{\circ} \).

Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то \( \angle B = 180^{\circ} - 32^{\circ} = 148^{\circ} \).

Противоположные углы равны, поэтому \( \angle C = \angle A = 32^{\circ} \) и \( \angle D = \angle B = 148^{\circ} \).

Ответ: Углы параллелограмма равны 32°, 148°, 32°, 148°.

б) Доказательство, что ABCD — параллелограмм:

Дано: Четырехугольник ABCD, диагонали пересекаются в точке О. AO — медиана \( \triangle BAD \), BO — медиана \( \triangle ABC \).

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Так как AO — медиана \( \triangle BAD \), то точка О лежит на диагонали BD, и делит ее пополам: \( BO = OD \).

2. Так как BO — медиана \( \triangle ABC \), то точка О лежит на диагонали AC, и делит ее пополам: \( AO = OC \).

3. Мы получили, что диагонали четырехугольника ABCD (AC и BD) пересекаются в точке О и делятся ею пополам. Это является одним из признаков параллелограмма.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Доказано.