5. Решите уравнение \(\log_2 (x^2 + 2) = \cos \pi x.\)

Решение:

Рассмотрим свойства левой и правой частей уравнения.

Левая часть: \(f(x) = \log_2 (x^2 + 2)\).

Минимальное значение аргумента \(x^2 + 2\) достигается при \(x = 0\), когда \(x^2 + 2 = 2\). Соответственно, минимальное значение логарифма равно \(\log_2 2 = 1\).

При любом \(x
e 0\), \(x^2 > 0\), \(x^2 + 2 > 2\), и \(\log_2 (x^2 + 2) > \log_2 2 = 1\).

Таким образом, \(\log_2 (x^2 + 2) ≥ 1\) для всех \(x ∈ \mathbb{R}\).

Правая часть: \(g(x) = \cos \pi x\).

Известно, что значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1, то есть \(-1 ≤ \cos \pi x ≤ 1\) для всех \(x ∈ \mathbb{R}\).

Сравнение частей уравнения:

У нас есть уравнение \(f(x) = g(x)\), где \(f(x) ≥ 1\) и \(g(x) ≤ 1\).

Единственное значение, при котором эти условия могут совпасть, это когда обе части равны 1.

\(\log_2 (x^2 + 2) = 1\)

\(\cos \pi x = 1\)

Решим первое уравнение:

\(x^2 + 2 = 2^1\)

\(x^2 + 2 = 2\)

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\).

Теперь проверим, удовлетворяет ли \(x = 0\) второму уравнению:

\(\cos (̅\pi ∙ 0) = \cos 0 = 1\).

Таким образом, \(x = 0\) является решением обоих уравнений.

Ответ: \(x = 0\).