4. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{x + 3y}{x - 3y} - 4 \frac{x - 3y}{x + 3y} = 3, \\ 34y^2 - x^2 = 9. \end{cases}\)

Решение:

Шаг 1: Решим первое уравнение системы.

Обозначим \(z = \frac{x + 3y}{x - 3y}\). Тогда \(\frac{x - 3y}{x + 3y} = \frac{1}{z}\).

Первое уравнение примет вид: \(z - \frac{4}{z} = 3\).

Умножим обе части на \(z\), учитывая, что \(z
e 0\):

\(z^2 - 4 = 3z\)

\(z^2 - 3z - 4 = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\)

\(z_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\)

\(z_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1\)

Случай 1: \(z = 4\)

\(\frac{x + 3y}{x - 3y} = 4\)

\(x + 3y = 4(x - 3y)\)

\(x + 3y = 4x - 12y\)

\(15y = 3x\)

\(x = 5y\)

Подставим \(x = 5y\) во второе уравнение системы:

\(34y^2 - (5y)^2 = 9\)

\(34y^2 - 25y^2 = 9\)

\(9y^2 = 9\)

\(y^2 = 1\)

\(y = \pm 1\)

Если \(y = 1\), то \(x = 5(1) = 5\). Получаем пару \((5, 1)\).

Если \(y = -1\), то \(x = 5(-1) = -5\). Получаем пару \((-5, -1)\).

Случай 2: \(z = -1\)

\(\frac{x + 3y}{x - 3y} = -1\)

\(x + 3y = -(x - 3y)\)

\(x + 3y = -x + 3y\)

\(2x = 0\)

\(x = 0\)

Подставим \(x = 0\) во второе уравнение системы:

\(34y^2 - (0)^2 = 9\)

\(34y^2 = 9\)

\(y^2 = \frac{9}{34}\)

\(y = \pm \frac{3}{\sqrt{34}} = \pm \frac{3\sqrt{34}}{34}\)

Получаем пары \((0, \frac{3\sqrt{34}}{34})\) и \((0, -\frac{3\sqrt{34}}{34})\).

Проверка ОДЗ для первого уравнения:

\(x - 3y ≠ 0\) и \(x + 3y ≠ 0\).

Для пар \((5, 1)\) и \((-5, -1)\):

\(5 - 3(1) = 2 ≠ 0\), \(5 + 3(1) = 8 ≠ 0\).

\(-5 - 3(-1) = -5 + 3 = -2 ≠ 0\), \(-5 + 3(-1) = -5 - 3 = -8 ≠ 0\).

Для пар \((0, \frac{3\sqrt{34}}{34})\) и \((0, -\frac{3\sqrt{34}}{34})\):

\(0 - 3(\frac{3\sqrt{34}}{34}) = -\frac{9\sqrt{34}}{34} ≠ 0\), \(0 + 3(\frac{3\sqrt{34}}{34}) = \frac{9\sqrt{34}}{34} ≠ 0\).

\(0 - 3(-\frac{3\sqrt{34}}{34}) = \frac{9\sqrt{34}}{34} ≠ 0\), \(0 + 3(-\frac{3\sqrt{34}}{34}) = -\frac{9\sqrt{34}}{34} ≠ 0\).

Все найденные пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \((5; 1), (-5; -1), (0; \frac{3\sqrt{34}}{34}), (0; -\frac{3\sqrt{34}}{34})\).