3. Решите уравнение в целых числах: \(12x - 5y = 4.\)

Решение:

Это линейное диофантово уравнение вида \(ax + by = c\).

Сначала найдём одно частное решение. Подберём целые значения \(x\) и \(y\).

Если \(x = 2\), то \(12(2) - 5y = 4\) \( \Rightarrow \) \(24 - 5y = 4\) \( \Rightarrow \) \(5y = 20\) \( \Rightarrow \) \(y = 4\).

Таким образом, одно частное решение: \(x_0 = 2, y_0 = 4\).

Теперь найдём общее решение. Для уравнения \(ax + by = c\), если \((x_0, y_0)\) — частное решение, то общее решение имеет вид:

\(x = x_0 + \frac{b}{d} t\)

\(y = y_0 - \frac{a}{d} t\)

где \(d = \text{НОД}(a, b)\) и \(t \in \mathbb{Z}\).

В нашем случае \(a = 12\), \(b = -5\), \(c = 4\). Наибольший общий делитель \(\text{НОД}(12, -5) = 1\). Следовательно, \(d = 1\).

Подставим значения:

\(x = 2 + \frac{-5}{1} t = 2 - 5t\)

\(y = 4 - \frac{12}{1} t = 4 - 12t\)

где \(t \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = 2 - 5t, y = 4 - 12t\), где \(t \in \mathbb{Z}\).