1. Решите уравнение: в) \(\sqrt{4x + 12} + \sqrt{12 - 8x} = \sqrt{28 + 8x}.\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{4x + 12} + \sqrt{12 - 8x})^2 = (\sqrt{28 + 8x})^2\)

\((4x + 12) + (12 - 8x) + 2\sqrt{(4x + 12)(12 - 8x)} = 28 + 8x\)

\(24 - 4x + 2\sqrt{48x - 32x^2 + 144 - 96x} = 28 + 8x\)

\(24 - 4x + 2\sqrt{-32x^2 - 48x + 144} = 28 + 8x\)

\(2\sqrt{-32x^2 - 48x + 144} = 4 + 12x\)

Разделим обе части на 2:

\(\sqrt{-32x^2 - 48x + 144} = 2 + 6x\)

Снова возведём в квадрат:

\(-32x^2 - 48x + 144 = (2 + 6x)^2\)

\(-32x^2 - 48x + 144 = 4 + 24x + 36x^2\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(36x^2 + 32x^2 + 24x + 48x + 4 - 144 = 0\)

\(68x^2 + 72x - 140 = 0\)

Разделим на 4:

\(17x^2 + 18x - 35 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 18^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-35) = 324 + 2380 = 2704\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52\)

\(x_1 = \frac{-18 + 52}{2 \cdot 17} = \frac{34}{34} = 1\)

\(x_2 = \frac{-18 - 52}{2 \cdot 17} = \frac{-70}{34} = -\frac{35}{17}\)

Проверим корни:

Для x = 1:

\(\sqrt{4(1) + 12} + \sqrt{12 - 8(1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6\)

\(\sqrt{28 + 8(1)} = \sqrt{36} = 6\)

\(6 = 6\). Значит, \(x = 1\) — корень.

Для x = -35/17:

\(2 + 6x = 2 + 6(-\frac{35}{17}) = 2 - \frac{210}{17} = \frac{34 - 210}{17} = -\frac{176}{17}\).

Так как \(2 + 6x < 0\) для \(x = -35/17\), то \(x = -35/17\) не является корнем уравнения \(\sqrt{-32x^2 - 48x + 144} = 2 + 6x\).

Ответ: \(x = 1\).