2. Решите неравенство: a) \(\log_{1/2} (3x - x^2) + \sqrt{3}^{\log_{3} 1} < 0;\)

Решение:

Упростим неравенство. Известно, что \(\log_{3} 1 = 0\), поэтому \(\sqrt{3}^{\log_{3} 1} = \sqrt{3}^0 = 1\).

Неравенство принимает вид: \(\log_{1/2} (3x - x^2) + 1 < 0\).

Перенесём 1 в правую часть: \(\log_{1/2} (3x - x^2) < -1\).

ОДЗ:

Аргумент логарифма должен быть положительным: \(3x - x^2 > 0\).

\(x(3 - x) > 0\).

Это неравенство выполняется при \(0 < x < 3\).

Решаем логарифмическое неравенство:

Так как основание логарифма \(1/2\) меньше 1, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

\(3x - x^2 > (1/2)^{-1}\)

\(3x - x^2 > 2\)

\(3x - x^2 - 2 > 0\)

\(x^2 - 3x + 2 < 0\)

Найдем корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 3x + 2 = 0\):

\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\)

\(x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1\)

\(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)

Парабола \(y = x^2 - 3x + 2\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - 3x + 2 < 0\) при \(1 < x < 2\).

Пересекаем решение с ОДЗ:

\((1 < x < 2) \cap (0 < x < 3)\) = \(1 < x < 2\).

Ответ: \((1; 2)\).