5. Решить неравенство (x+1)² - 4x < (x+2)(x-3)

Решение:

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Левая часть: \( (x+1)^2 - 4x = (x^2 + 2x + 1) - 4x = x^2 - 2x + 1 \)

Правая часть: \( (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 \)

Теперь запишем неравенство с раскрытыми скобками:

\[ x^2 - 2x + 1 < x^2 - x - 6 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

\[ x^2 - 2x + 1 - (x^2 - x - 6) < 0 \]

\[ x^2 - 2x + 1 - x^2 + x + 6 < 0 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (x^2 - x^2) + (-2x + x) + (1 + 6) < 0 \]

\[ -x + 7 < 0 \]

Решим полученное линейное неравенство:

\[ -x < -7 \]

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

\[ x > 7 \]

Ответ: x > 7