Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Постройте график функции y = \(\frac{-1-x}{(x^2+4)(x+1)}\). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с…Фото задания

Ответ:

Решение:

1. Упрощение функции:

Заметим, что числитель -1-x можно представить как -(1+x).

Функция принимает вид: y = \(\frac{-(1+x)}{(x^2+4)(x+1)}\).

При x \(\ne\) -1, мы можем сократить (x+1):

y = \(\frac{-1}{x^2+4}\)

Таким образом, график функции y = \(\frac{-1-x}{(x^2+4)(x+1)}\) совпадает с графиком функции y = \(\frac{-1}{x^2+4}\), за исключением точки x = -1. В точке x = -1 функция не определена (выколотая точка).

Найдем значение y в выколотой точке:

y = \(\frac{-1}{(-1)^2+4}\) = \(\frac{-1}{1+4}\) = -1/5.

Выколотая точка имеет координаты (-1, -1/5).

2. Анализ функции y = \(\frac{-1}{x^2+4}\):

  • Область определения: все действительные числа \(x \in R\), так как x^2+4 никогда не равно нулю.
  • Область значений: y < 0, так как числитель отрицательный, а знаменатель всегда положителен. Максимальное значение достигается при x=0: y = -1/4. Минимального значения нет \(стремится к 0 при |x| \to \infty\).
  • Функция четная: f(-x) = \(\frac{-1}{(-x)^2+4}\) = \(\frac{-1}{x^2+4}\) = f(x). График симметричен относительно оси y.
  • Точка максимума (с учетом отрицательности): (0, -1/4).
  • Горизонтальная асимптота: y = 0 \(при |x| \to \infty\).

3. Построение графика:

График представляет собой симметричную кривую, лежащую ниже оси x, с вершиной в точке (0, -1/4) и выколотой точкой (-1, -1/5).

4. Взаимодействие с прямой y = kx:

Прямая y = kx проходит через начало координат (0,0).

Нам нужно найти такие значения k, при которых прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции y = \(\frac{-1}{x^2+4}\) (с учетом выколотой точки).

Случай 1: Прямая проходит через выколотую точку (-1, -1/5).

Подставим координаты точки в уравнение прямой:

\[ -1/5 = k \cdot (-1) \]

\[ k = 1/5 \]

В этом случае прямая y = (1/5)x пересекает график в выколотой точке. Это означает, что она НЕ пересекает основную кривую y = \(\frac{-1}{x^2+4}\) в этой точке. Нужно проверить, сколько еще точек пересечения есть.

При k = 1/5, уравнение пересечения:

\[ \frac{-1}{x^2+4} = \frac{1}{5}x \]

\[ -5 = x(x^2+4) \]

\[ -5 = x^3 + 4x \]

\[ x^3 + 4x + 5 = 0 \]

Мы знаем, что x = -1 является корнем этого уравнения (так как прямая проходит через выколотую точку). Попробуем найти другие корни:

(x+1)(x^2 - x + 5) = 0

Дискриминант для квадратного трехчлена x^2 - x + 5 равен D = (-1)^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 5 = 1 - 20 = -19 < 0. Этот трехчлен не имеет действительных корней.

Следовательно, при k = 1/5 есть только одна точка пересечения — выколотая точка (-1, -1/5).

Случай 2: Касательная к графику.

Прямая y = kx будет касаться графика y = \(\frac{-1}{x^2+4}\), если производная функции в точке касания равна k.

Найдем производную y':

\[ y' = \left( \frac{-1}{x^2+4} \right)' = -1 \cdot (x^2+4)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \]

Приравниваем производную к k:

\[ k = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \]

Также в точке касания (x_0, y_0) выполняется равенство:

\[ y_0 = kx_0 \]

\[ \frac{-1}{x_0^2+4} = kx_0 \]

Подставим k из первого уравнения во второе:

\[ \frac{-1}{x_0^2+4} = \frac{-2x_0}{(x_0^2+4)^2} \cdot x_0 \]

\[ \frac{-1}{x_0^2+4} = \frac{-2x_0^2}{(x_0^2+4)^2} \]

Умножим обе части на (x_0^2+4)^2:

\[ -(x_0^2+4) = -2x_0^2 \]

\[ -x_0^2 - 4 = -2x_0^2 \]

\[ x_0^2 = 4 \]

\[ x_0 = 2 \quad \text{или} \quad x_0 = -2 \]

Найдем соответствующие значения k:

Если x_0 = 2:

\[ k = \frac{-2 \cdot 2}{(2^2+4)^2} = \frac{-4}{(4+4)^2} = \frac{-4}{8^2} = \frac{-4}{64} = -1/16 \]

Если x_0 = -2:

\[ k = \frac{-2 \cdot (-2)}{((-2)^2+4)^2} = \frac{4}{(4+4)^2} = \frac{4}{64} = 1/16 \]

При k = 1/16 и k = -1/16 прямая является касательной к графику, то есть имеет одну точку пересечения. Однако, нужно убедиться, что эти точки касания не являются выколотой точкой.

При k = 1/16, точка касания: x_0 = -2. Значение y: y = \(\frac{-1}{(-2)^2+4}\) = -1/8. Это не выколотая точка (-1, -1/5).

При k = -1/16, точка касания: x_0 = 2. Значение y: y = \(\frac{-1}{2^2+4}\) = -1/8. Это не выколотая точка (-1, -1/5).

Итог:

Ровно одна общая точка будет, когда прямая проходит через выколотую точку (k = 1/5) или когда прямая является касательной к графику (k = 1/16 и k = -1/16).

Ответ: k = 1/5, k = 1/16, k = -1/16