2. Решите неравенство: \[ (2x-5)^2 \ge (5x-2)^2 \]

Решение:

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов a^2 - b^2 = (a-b)(a+b):

1. \[ (2x-5)^2 - (5x-2)^2 \ge 0 \]
2. \[ ((2x-5) - (5x-2))((2x-5) + (5x-2)) \ge 0 \]
3. \[ (2x - 5 - 5x + 2)(2x - 5 + 5x - 2) \ge 0 \]
4. \[ (-3x - 3)(7x - 7) \ge 0 \]
5. Вынесем общие множители:
6. \[ -3(x + 1) \cdot 7(x - 1) \ge 0 \]
7. \[ -21(x + 1)(x - 1) \ge 0 \]
8. Разделим обе части на -21, изменив знак неравенства:
9. \[ (x + 1)(x - 1) \le 0 \]
10. Найдем корни уравнения (x+1)(x-1) = 0: x = -1 и x = 1.
11. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: (-∞, -1], [-1, 1], [1, ∞).
12. Проверим знак выражения (x+1)(x-1) в каждом интервале:
• Если x < -1 (например, x = -2): (-2+1)(-2-1) = (-1)(-3) = 3 > 0 (не подходит).
• Если -1 ≤ x \(\le\) 1 (например, x = 0): (0+1)(0-1) = (1)(-1) = -1 ≤ 0 (подходит).
• Если x > 1 (например, x = 2): (2+1)(2-1) = (3)(1) = 3 > 0 (не подходит).

Ответ: [-1; 1]