5. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 20 см, а одна из диагоналей на 8 см больше другой.

Решение:

Площадь ромба вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба.

Также диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре прямоугольных треугольника, катетами которых являются половины диагоналей \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \), а гипотенузой — сторона ромба \( a \).

По условию:

• Сторона ромба \( a = 20 \) см.
• Одна диагональ больше другой на 8 см. Пусть \( d_2 = d_1 + 8 \).

Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

\[ (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \]

Подставим \( d_2 = d_1 + 8 \) и \( a = 20 \):

\[ (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_1+8}{2})^2 = 20^2 \]\[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{(d_1+8)^2}{4} = 400 \]

Умножим обе части уравнения на 4:

\[ d_1^2 + (d_1+8)^2 = 1600 \]\[ d_1^2 + d_1^2 + 16d_1 + 64 = 1600 \]\[ 2d_1^2 + 16d_1 + 64 - 1600 = 0 \]\[ 2d_1^2 + 16d_1 - 1536 = 0 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ d_1^2 + 8d_1 - 768 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для \( d_1 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56 \]

Найдем \( d_1 \):

\[ d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 56}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см} \]

Теперь найдем \( d_2 \):

\[ d_2 = d_1 + 8 = 24 + 8 = 32 \text{ см} \]

Найдем площадь ромба:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см} \cdot 32 \text{ см} = 12 \text{ см} \cdot 32 \text{ см} = 384 \text{ см}^2 \]

Ответ: 384 см².