4.° Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√2 см и образует с основанием угол 45°. Найдите площадь трапеции, если в нее можно вписать окружность.

Решение:

В равнобокую трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобокая, то \( a + b = 2c \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( c \) — боковая сторона.

По условию:

• Боковая сторона \( c = 10\sqrt{2} \) см.
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Для нахождения площади трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \) нам нужно найти высоту \( h \).

Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Она образует прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c \) и углом \( 45^{\circ} \). В таком треугольнике высота \( h \) равна:

\[ h = c \cdot \sin(\alpha) = 10\sqrt{2} \text{ см} \cdot \sin(45^{\circ}) = 10\sqrt{2} \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} \text{ см} = 10 \text{ см} \]

Теперь найдем сумму оснований:

\[ a + b = 2c = 2 \cdot 10\sqrt{2} \text{ см} = 20\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь можем найти площадь трапеции:

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{20\sqrt{2} \text{ см}}{2} \cdot 10 \text{ см} = 10\sqrt{2} \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 100\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Ответ: 100√2 см².