3.° Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, — 9 см.

Решение:

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \), где \( b \) — основание, а \( h \) — высота, проведенная к основанию.

По условию:

• Боковая сторона \( c = 15 \) см.
• Высота \( h = 9 \) см.

Чтобы найти площадь, нам нужно найти длину основания \( b \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. По теореме Пифагора:

\[ (\frac{b}{2})^2 + h^2 = c^2 \]\[ (\frac{b}{2})^2 + 9^2 = 15^2 \]\[ (\frac{b}{2})^2 + 81 = 225 \]\[ (\frac{b}{2})^2 = 225 - 81 \]\[ (\frac{b}{2})^2 = 144 \]\[ \frac{b}{2} = \sqrt{144} \]\[ \frac{b}{2} = 12 \text{ см} \]

Теперь найдем длину основания:

\[ b = 12 \text{ см} \cdot 2 = 24 \text{ см} \]

Теперь можем найти площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 12 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 108 \text{ см}^2 \]

Ответ: 108 см².