6." Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки \( p = 15 \) см и \( q = 20 \) см. Тогда длина гипотенузы \( c = p + q = 15 + 20 = 35 \) см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух других сторон. В нашем случае:

\[ \frac{a}{b} = \frac{p}{q} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \]

Следовательно, \( a = \frac{3}{4} b \).

Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим \( a = \frac{3}{4} b \) и \( c = 35 \):

\[ (\frac{3}{4} b)^2 + b^2 = 35^2 \]\[ \frac{9}{16} b^2 + b^2 = 1225 \]\[ \frac{9}{16} b^2 + \frac{16}{16} b^2 = 1225 \]\[ \frac{25}{16} b^2 = 1225 \]

Найдем \( b^2 \):

\[ b^2 = 1225 \cdot \frac{16}{25} \]

Разделим 1225 на 25: \( 1225 : 25 = 49 \).

\[ b^2 = 49 \cdot 16 \]

Найдем \( b \):

\[ b = \sqrt{49 \cdot 16} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{16} = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см} \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = \frac{3}{4} b = \frac{3}{4} \cdot 28 \text{ см} = 3 \cdot 7 \text{ см} = 21 \text{ см} \]

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} ab \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 21 \text{ см} \cdot 28 \text{ см} = 21 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 294 \text{ см}^2 \]

Ответ: 294 см².