Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD…Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Для нахождения углов трапеции, зная углы, образованные диагональю, нужно использовать свойства трапеции и углы треугольников.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: В равнобедренной трапеции ABCD (BC || AD), диагональ AC образует с основанием BC угол $$∠$$ACB = 30° и с боковой стороной CD угол $$∠$$ACD = 105°.
  2. Шаг 2: Найдем угол $$∠$$BCD. Это сумма углов $$∠$$ACB и $$∠$$ACD: $$∠$$BCD = $$∠$$ACB + $$∠$$ACD = 30° + 105° = 135°.
  3. Шаг 3: Так как трапеция равнобедренная, углы при каждом основании равны. Углы при основании CD равны: $$∠$$ADC = $$∠$$BCD = 135°. (Это неверно, это углы при одном основании, а CD - боковая сторона).
  4. Шаг 4: В равнобедренной трапеции углы при боковой стороне в сумме дают 180°. Углы при основании AD равны: $$∠$$BAD = $$∠$$ABC. Углы при основании BC равны: $$∠$$ABC = $$∠$$BCD (опечатка, основания BC и AD, поэтому $$∠$$ABC = $$∠$$BCD неверно).
  5. Шаг 5: Правильно: в равнобедренной трапеции углы при основании равны. $$∠$$ABC = $$∠$$BAD, $$∠$$BCD = $$∠$$ADC.
  6. Шаг 6: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. То есть $$∠$$BCD + $$∠$$ADC = 180° (неверно, это углы при разных основаниях).
  7. Шаг 7: Правильно: $$∠$$ABC + $$∠$$BCD = 180° (если BC || AD) - это сумма углов трапеции.
  8. Шаг 8: Углы при основании трапеции равны. $$∠$$ABC = $$∠$$BAD, $$∠$$BCD = $$∠$$ADC.
  9. Шаг 9: Сумма углов трапеции равна 360°.
  10. Шаг 10: Найдем $$∠$$CAD. Так как BC || AD, то $$∠$$ACB = $$∠$$CAD как накрест лежащие углы. Следовательно, $$∠$$CAD = 30°.
  11. Шаг 11: Найдем $$∠$$DCA. Известно $$∠$$ACD = 105°.
  12. Шаг 12: В треугольнике ACD, сумма углов равна 180°. $$∠$$ADC + $$∠$$CAD + $$∠$$DCA = 180°.
  13. Шаг 13: Угол $$∠$$DCA = 180° - $$∠$$ACD = 180° - 105° = 75° (Это угол между диагональю и стороной CD, то есть $$∠$$ACD = 105°).
  14. Шаг 14: Угол $$∠$$ADC = 180° - $$∠$$CAD - $$∠$$ACD = 180° - 30° - 105° = 45°. (Это угол треугольника ACD).
  15. Шаг 15: Таким образом, один из углов трапеции $$∠$$ADC = 45°.
  16. Шаг 16: Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны, то есть $$∠$$BAD = $$∠$$ADC = 45°.
  17. Шаг 17: Сумма углов при боковой стороне равна 180°. $$∠$$BCD + $$∠$$ADC = 180° (неверно).
  18. Шаг 18: Углы при боковой стороне трапеции в сумме дают 180°. $$∠$$ABC + $$∠$$BCD = 180° и $$∠$$BAD + $$∠$$ADC = 180°.
  19. Шаг 19: Мы нашли $$∠$$ADC = 45°.
  20. Шаг 20: Так как трапеция равнобедренная, $$∠$$BAD = $$∠$$ADC = 45°.
  21. Шаг 21: Углы при другом основании равны: $$∠$$ABC = $$∠$$BCD.
  22. Шаг 22: $$∠$$ABC + $$∠$$BCD = 180° (сумма углов при боковой стороне).
  23. Шаг 23: $$∠$$BCD = $$∠$$ABC.
  24. Шаг 24: $$∠$$ABC + $$∠$$ABC = 180° (неверно).
  25. Шаг 25: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. $$∠$$ABC + $$∠$$BCD = 180° (неверно, это углы при разных основаниях).
  26. Шаг 26: Углы при основании BC равны: $$∠$$ABC = $$∠$$BCD.
  27. Шаг 27: $$∠$$ABC = $$∠$$BCD.
  28. Шаг 28: $$∠$$ABC = 180° - $$∠$$BAD = 180° - 45° = 135°.
  29. Шаг 29: $$∠$$BCD = 135°.
  30. Шаг 30: Углы трапеции: 45°, 45°, 135°, 135°.
  31. Шаг 31: Меньший угол трапеции равен 45°.
  32. Шаг 32: Перепроверим $$∠$$BCD. $$∠$$BCD = $$∠$$ACB + $$∠$$ACD = 30° + 105° = 135°.
  33. Шаг 33: Углы при основании AD равны $$∠$$BAD = $$∠$$ADC.
  34. Шаг 34: Углы при основании BC равны $$∠$$ABC = $$∠$$BCD.
  35. Шаг 35: Так как $$∠$$BCD = 135°, то $$∠$$ABC = 135°.
  36. Шаг 36: Сумма углов трапеции 360°. $$∠$$BAD + $$∠$$ADC = 360° - 135° - 135° = 90°.
  37. Шаг 37: Так как трапеция равнобедренная, $$∠$$BAD = $$∠$$ADC = 90° / 2 = 45°.
  38. Шаг 38: Углы трапеции: 45°, 45°, 135°, 135°.
  39. Шаг 39: Меньший угол трапеции равен 45°.

Ответ: 45