5. Найдите корни уравнения (х² - 4x)² - 2(x² - 4x) - 15 = 0.

Решение:

Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение.

1. Пусть \( y = x^2 - 4x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 2y - 15 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
3. Найдем корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
4. Теперь вернемся к замене: \( x^2 - 4x = y \).
• Случай 1: \( x^2 - 4x = 5 \) \(\Rightarrow\) \( x^2 - 4x - 5 = 0 \). \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \). \( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \). \( x_1 = \frac{4+6}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{4-6}{2} = -1 \).
• Случай 2: \( x^2 - 4x = -3 \) \(\Rightarrow\) \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). \( x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \). \( x_3 = \frac{4+2}{2} = 3 \), \( x_4 = \frac{4-2}{2} = 1 \).

Ответ: корни уравнения: \( -1, 1, 3, 5 \). Вариант А.