№5. На рисунке прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите угол ВАС, если угол АОВ равна 108°.

Дано:

• О — центр окружности
• АС — касательная в точке А
• ∠AOB = 108°

Найти: ∠BAC

Решение:

1. ∠AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB.
2. ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB.
3. ∠ACB = ∠AOB / 2 = 108° / 2 = 54°.
4. Радиус ОА перпендикулярен касательной АС, поэтому ∠OAC = 90°.
5. ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB.
6. Треугольник АОВ — равнобедренный (ОА = ОВ — радиусы).
7. ∠OAB = ∠OBA = (180° - ∠AOB) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 72° / 2 = 36°.
8. ∠BAC = 90° - 36° = 54°.

Ответ: 54°