484. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) соответственно. Соединим точки \(M\) и \(N\).

1. Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную \(BC\). Она пересечёт сторону \(AC\) в точке \(N'\).
2. Так как \(MN'\parallel BC\), то треугольники \(AMN'\) и \(ABC\) подобны.
3. Поскольку \(M\) — середина \(AB\), имеем \(AM=\frac12AB\). Из подобия следует \(\frac{AN'}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac12\), поэтому \(AN'=\frac12AC\). Значит, \(N'\) — середина \(AC\).
4. Но середина отрезка единственна, следовательно, \(N'=N\). Поэтому \(MN\parallel BC\).
5. Из подобия треугольников также следует \(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac12\), откуда \(MN=\frac12BC\).

Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.