485. Докажите признак средней линии треугольника. Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника ABC.

Проведём через точку C прямую, параллельную AB, и обозначим через D точку её пересечения с прямой MN.

1. Так как BC ∥ MD и AB ∥ CD, то четырёхугольник BCDM — параллелограмм.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому MB = CD.
3. По условию M — середина стороны AB, следовательно, AM = MB. Значит, AM = CD.
4. Рассмотрим треугольники AMN и CDN. Имеем:
   • AM = CD;
   • ∠MAN = ∠DCN, так как AB ∥ CD;
   • ∠AMN = ∠CDN, так как AB ∥ CD.
5. Следовательно, треугольники AMN и CDN равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AN = NC.
6. Таким образом, точка N — середина стороны AC, а по построению MN ∥ BC.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне, является средней линией. Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC.