486. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Пусть в четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины двух сторон, поэтому KL ∥ AC и \(KL=\frac{AC}{2}\).
2. В треугольнике CDA отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому MN ∥ AC\) и \(MN=\frac{AC}{2}\).
3. Следовательно, \(KL ∥ MN\) и \(KL=MN\).
4. Аналогично, в треугольниках BCD и BAD получаем \(LM ∥ BD\) и \(KN ∥ BD\). Значит, \(LM ∥ KN\).

Обе пары противоположных сторон четырёхугольника KLMN параллельны, поэтому KLMN — параллелограмм.

Ответ: середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.