4. Вычислите \(\frac{16^{-2} \cdot (-10)^{-3}}{128^{-4} \cdot 32^4}\).

Решение:

Представим все числа в виде степеней двойки:

\(16 = 2^4\), \(10 = 2 \cdot 5\), \(128 = 2^7\), \(32 = 2^5\).

Подставим в выражение:

\[ \frac{(2^4)^{-2} \cdot (- (2 \cdot 5))^{-3}}{(2^7)^{-4} \cdot (2^5)^4} = \frac{2^{-8} \cdot (-1)^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}}{2^{-28} \cdot 2^{20}} \]

Упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{2^{-8-3} \cdot (-1) \cdot 5^{-3}}{2^{-28+20}} = \frac{2^{-11} \cdot (-1) \cdot 5^{-3}}{2^{-8}} \]

Теперь разделим степени:

\[ 2^{-11 - (-8)} \cdot (-1) \cdot 5^{-3} = 2^{-11+8} \cdot (-1) \cdot 5^{-3} = 2^{-3} \cdot (-1) \cdot 5^{-3} \]

Перепишем степени с отрицательными показателями в виде дробей:

\[ \frac{1}{2^3} \cdot (-1) \cdot \frac{1}{5^3} = \frac{-1}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{-1}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} \]

Ответ: \(-\frac{1}{1000}\).