3. Упростите выражение \(\frac{(2xy^{-2})^{-4} \cdot 4x^6}{x^{-6}y}\).

Решение:

Сначала раскроем скобки, применяя свойство \((ab)^n = a^n b^n\) и \((a^m)^n = a^{mn}\):

\[ \frac{(2xy^{-2})^{-4} \cdot 4x^6}{x^{-6}y} = \frac{2^{-4}x^{-4}(y^{-2})^{-4} \cdot 4x^6}{x^{-6}y} = \frac{2^{-4}x^{-4}y^{8} \cdot 4x^6}{x^{-6}y} \]

Теперь умножим степени с одинаковым основанием:

\[ \frac{2^{-4} \cdot 4 \cdot x^{-4+6} \cdot y^8}{x^{-6}y} = \frac{2^{-4} \cdot 2^2 \cdot x^2 \cdot y^8}{x^{-6}y} = \frac{2^{-4+2} \cdot x^2 \cdot y^8}{x^{-6}y} = \frac{2^{-2} x^2 y^8}{x^{-6}y} \]

Теперь разделим степени:

\[ 2^{-2} \cdot x^{2 - (-6)} \cdot y^{8-1} = 2^{-2} x^{2+6} y^7 = 2^{-2} x^8 y^7 \]

Запишем степень с отрицательным показателем в виде дроби:

\[ \frac{1}{2^2} x^8 y^7 = \frac{1}{4} x^8 y^7 = \frac{x^8 y^7}{4} \]

Ответ: \(\frac{x^8 y^7}{4}\).