4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции один из углов равен \( 90° \) (угол, образованный боковой стороной, перпендикулярной основаниям, и одним из оснований).

Пусть боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, — это \( BC \).

Тогда углы при этой боковой стороне — \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \), и их сумма равна \( 180° \).

Пусть \( \angle ABC = x \). Тогда \( \angle BCD = y \).

\( x + y = 180° \).

По условию, разность углов при одной из боковых сторон равна \( 48° \). Пусть это будут углы \( x \) и \( y \) (если бы это были углы при другой боковой стороне, которая перпендикулярна основаниям, то углы были бы \( 90° \) и \( 90° \), их разность равна \( 0° \), что не подходит).

\( |x - y| = 48° \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x - y = 48° \)

Имеем систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 180° \\ x - y = 48° \end{cases} \)

Сложим уравнения: \( 2x = 228° \) \( \implies x = 114° \).

Подставим \( x \) в первое уравнение: \( 114° + y = 180° \) \( \implies y = 66° \).

Углы трапеции: \( 90°, 90°, 114°, 66° \). Проверим: \( 114° - 66° = 48° \). Сумма углов \( 90° + 90° + 114° + 66° = 360° \).

Случай 2: \( y - x = 48° \)

Имеем систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 180° \\ y - x = 48° \end{cases} \)

Сложим уравнения: \( 2y = 228° \) \( \implies y = 114° \).

Подставим \( y \) в первое уравнение: \( x + 114° = 180° \) \( \implies x = 66° \).

Углы трапеции: \( 90°, 90°, 66°, 114° \).

В обоих случаях углы трапеции равны \( 90°, 90°, 114°, 66° \) (в разном порядке).

Ответ: \( 90°, 90°, 114°, 66° \).