1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, \(\angle\) MON = 64°. Найдите угол OMP.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( MO = NO = PO = KO \).

Рассмотрим \( \triangle MON \). Он равнобедренный, так как \( MO = NO \). Угол \( \angle MON = 64° \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OMN = \angle ONM = \frac{180° - 64°}{2} = \frac{116°}{2} = 58° \).

Диагонали \( MN \) и \( PK \) пересекаются в точке \( O \). Угол \( \angle OMP \) является частью угла \( \angle PMN \), который равен \( 90° \) (так как это угол прямоугольника).

Также \( \angle OMP = \angle ONK \) как накрест лежащие при параллельных \( MN \) и \( PK \) и секущей \( MN \), но это не верно. Рассмотрим \( \triangle MOP \). \( MO = PO \), значит, \( \triangle MOP \) равнобедренный.

Углы \( \angle MON \) и \( \angle POК \) — вертикальные, значит \( \angle POК = 64° \).

Углы \( \angle MOP \) и \( \angle KОN \) — вертикальные.

\( \angle MOP = 180° - \angle MON = 180° - 64° = 116° \).

В равнобедренном \( \triangle MOP \) углы при основании \( MP \) равны: \( \angle OMP = \angle OPM = \frac{180° - 116°}{2} = \frac{64°}{2} = 32° \).

Ответ: \( 32° \).