4. В графе 45 рёбер, а каждая вершина имеет индекс 9. Сколько у него вершин?

Решение:

По лемме о рукопожатиях, удвоенное число ребер равно сумме степеней всех вершин. Пусть \( n \) — число вершин. Каждая вершина имеет степень 9.

1. Сумма степеней всех вершин равна: \( n \cdot 9 \).
2. Удвоенное число ребер равно: \( 2 \cdot 45 = 90 \).
3. Приравниваем: \( 9n = 90 \).
4. Находим число вершин: \( n = \frac{90}{9} = 10 \).

Ответ: 10 вершин.