4. В четырёхугольнике ABCD AB = CD, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что △ABD = △BDC. б) Найдите AD и DC, если AB = 10 см, BC = 14 см.

Решение:

а) Доказательство равенства треугольников △ABD и △BDC:

1. AB = CD (по условию).
2. ∠3 = ∠4 (по условию).
3. BD — общая сторона для обоих треугольников.

По двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников) можно сказать, что △ABD = △BDC, но у нас дан угол между сторонами AB и BD (∠ABD) и угол между сторонами CD и BD (∠CDB). Если ∠3 и ∠4 — это внутренние накрест лежащие углы, то это доказывает равенство треугольников. Однако, если ∠3 и ∠4 - это углы внутри треугольников, то нам нужен другой признак.

Предположим, что ∠3 = ∠ABD и ∠4 = ∠BDC. Тогда по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними):

AB = CD (по условию)

BD = BD (общая сторона)

∠ABD = ∠BDC (по условию, если ∠3 = ∠ABD и ∠4 = ∠BDC)

Тогда △ABD = △BDC по первому признаку. Если же ∠3 и ∠4 — это какие-то другие углы, то для доказательства равенства △ABD и △BDC, нам нужно доказать, что они равны по третьему признаку (по трем сторонам).

б) Нахождение AD и DC:

Из равенства треугольников △ABD = △BDC следует, что соответствующие стороны равны:

\[ AD = BC \]

\[ AB = DC \]

По условию:

\[ AB = 10 \text{ см} \]

\[ BC = 14 \text{ см} \]

Следовательно:

\[ DC = AB = 10 \text{ см} \]

\[ AD = BC = 14 \text{ см} \]

Ответ: а) △ABD = △BDC по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), если ∠ABD = ∠BDC. б) AD = 14 см, DC = 10 см.