4. Решите систему уравнений: { 7x² - 5x = y, 7x - 5 = y

Задание 4. Система уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

1. \( 7x^2 - 5x = y \)
2. \( 7x - 5 = y \)

Так как \( y \) в обоих уравнениях равен одному и тому же выражению, мы можем приравнять правые части уравнений:

\[ 7x^2 - 5x = 7x - 5 \]

Теперь перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 7x^2 - 5x - 7x + 5 = 0 \]

\[ 7x^2 - 12x + 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 7 \), \( b = -12 \), \( c = 5 \).

Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 \]

\[ D = 144 - 140 \]

\[ D = 4 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

Первый корень \( x_1 \):

\[ x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{12 + 2}{14} = \frac{14}{14} = 1 \]

Второй корень \( x_2 \):

\[ x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{12 - 2}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \), подставив их во второе уравнение системы (оно проще): \( y = 7x - 5 \).

Для \( x_1 = 1 \):

\[ y_1 = 7 \cdot 1 - 5 = 7 - 5 = 2 \]

Для \( x_2 = \frac{5}{7} \):

\[ y_2 = 7 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0 \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1) \( x = 1, y = 2 \)

2) \( x = \frac{5}{7}, y = 0 \)

Ответ: \( (1; 2), (\frac{5}{7}; 0) \)