4. Постройте в одной системе координат графики функций y = x² и y = 5x - 6 и найдите (графически) координаты точек пересечения.

Решение:

Построим графики функций \( y = x^2 \) (парабола) и \( y = 5x - 6 \) (прямая).

График параболы \( y = x^2 \):

• Вершина в точке (0,0).
• Проходит через точки: (-2, 4), (-1, 1), (1, 1), (2, 4).

График прямой \( y = 5x - 6 \):

• При \( x = 0 \), \( y = -6 \). Точка (0, -6).
• При \( y = 0 \), \( 5x = 6 \), \( x = 1.2 \). Точка (1.2, 0).
• При \( x = 1 \), \( y = 5(1) - 6 = -1 \). Точка (1, -1).
• При \( x = 2 \), \( y = 5(2) - 6 = 4 \). Точка (2, 4).
• При \( x = 3 \), \( y = 5(3) - 6 = 9 \). Точка (3, 9).

Из графика видно, что точки пересечения примерно соответствуют \( x = 1 \) и \( x = 4 \). Чтобы найти точные значения, решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 5x - 6 \end{cases} \]

Приравниваем правые части:

\[ x^2 = 5x - 6 \]

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]

Находим соответствующие значения \( y \):

При \( x_1 = 3 \): \( y_1 = 3^2 = 9 \) (или \( y_1 = 5 \cdot 3 - 6 = 15 - 6 = 9 \))

При \( x_2 = 2 \): \( y_2 = 2^2 = 4 \) (или \( y_2 = 5 \cdot 2 - 6 = 10 - 6 = 4 \))

Ответ: Координаты точек пересечения: (2, 4) и (3, 9).