4. Окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны.

Доказательство:

В равностороннем треугольнике все стороны равны ($$AB = BC = AC$$) и все углы равны $$60^{\circ}$$.

Окружность описана около треугольника АВС, центр О является центром описанной окружности.

Радиусы окружности, проведенные к вершинам треугольника, равны: $$OA = OB = OC = R$$, где R — радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольники АВО, ВСО и АСО:

• Треугольники АВО и ВСО:
  • $$OA = OB$$ (радиусы).
  • $$OC = OB$$ (радиусы).
  • $$AB = BC$$ (стороны равностороннего треугольника).

  Следовательно, по трем сторонам ($$\text{III признак равенства треугольников}$$), $$\triangle ABO = \triangle CBO$$.

• Треугольники ВСО и АСО:
  • $$OB = OC$$ (радиусы).
  • $$OA = OC$$ (радиусы).
  • $$BC = AC$$ (стороны равностороннего треугольника).

  Следовательно, по трем сторонам ($$\text{III признак равенства треугольников}$$), $$\triangle CBO = \triangle ACO$$.

Из равенства $$\triangle ABO = \triangle CBO$$ и $$\triangle CBO = \triangle ACO$$ следует, что $$\triangle ABO = \triangle CBO = \triangle ACO$$.

Таким образом, доказано, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны.