1. Даны окружность с центром О радиуса 15 см и точка С. Через точку С проведены две касательные к окружности, угол между ними равен 60°. Найдите ОС.

Решение:

Пусть касательные, проведенные из точки С к окружности с центром О, касаются окружности в точках А и В. Угол между касательными $$\angle ACB = 60^{\circ}$$.

Рассмотрим четырехугольник ОАСВ. Углы ОАС и ОВС — прямые, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной ($$\( \angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ} \)$$).

Сумма углов в четырехугольнике равна $$360^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$.

Рассмотрим треугольники ОАС и ОВС. Они прямоугольные, ОА = ОВ (радиусы), ОС — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны по гипотенузе и катету.

Угол между касательными делится пополам отрезком ОС, соединяющим вершину угла с центром окружности. То есть, $$\angle ACO = \angle BCO = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

В прямоугольном треугольнике ОАС, угол $$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.

В прямоугольном треугольнике ОАС:

• $$OA = 15$$ см (радиус).
• $$\\tan(\angle ACO) = \frac{OA}{OC}$$
• $$\\tan(30^{\circ}) = \frac{15}{OC}$$
• $$\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \frac{15}{OC}$$
• $$OC = 15 \\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$15\sqrt{3}$$ см.