4. ABCD — прямоугольник, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁, ∠AOB = 60°, AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. Найдите угол между прямыми A₁B₁ и A₁C₁; AB и A₁D₁.

В прямоугольнике диагонали AC и BD пересекаются в середине O. Угол ∠AOB — угол между лучами, направленными к вершинам A и B, то есть между диагоналями. Смежный с ним угол между лучами OA и OC равен 180° − 60° = 120°. В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB) углы при основании равны: ∠OAB = (180° − 60°)/2 = 60°. Значит, угол между стороной AB и диагональю AC равен 60°.

A₁B₁ ∥ AB, A₁C₁ ∥ AC и A₁D₁ ∥ AD. Поэтому угол между A₁B₁ и A₁C₁ равен углу между AB и AC: 60°. Поскольку AB ⟂ AD, угол между AB и A₁D₁ равен 90°.

Ответ: 60° и 90°.