32 Найдите точки пересечения параболы y = x² и прямой y = 2x + 3.

Решение:

Чтобы найти точки пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = 2x + 3 \), нужно приравнять их правые части, так как \( y \) в точках пересечения одинаков:

\[ x^2 = 2x + 3 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в любое из уравнений (например, \( y = x^2 \)):

При \( x_1 = 3 \): \( y_1 = 3^2 = 9 \).

При \( x_2 = -1 \): \( y_2 = (-1)^2 = 1 \).

Таким образом, точки пересечения имеют координаты (3; 9) и (-1; 1).

Ответ: (3; 9) и (-1; 1).