3. Вычислите: a) \( \frac{3^{10} \cdot 3^7}{3^{14}} \) б) \( \frac{5^6 \cdot 125}{25^2} \)

Решение:

1. а) Вычислим значение дроби:
   \( \frac{3^{10} \cdot 3^7}{3^{14}} \)
   Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( \frac{3^{10+7}}{3^{14}} = \frac{3^{17}}{3^{14}} \)
   Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 3^{17-14} = 3^3 \)
   Вычислим степень: \( 3^3 = 27 \)
2. б) Вычислим значение дроби:
   \( \frac{5^6 \cdot 125}{25^2} \)
   Представим числа \( 125 \) и \( 25 \) как степени числа \( 5 \): \( 125 = 5^3 \), \( 25 = 5^2 \).
   Подставим в дробь: \( \frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^2} \)
   Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( \frac{5^6 \cdot 5^3}{5^{2 \cdot 2}} = \frac{5^6 \cdot 5^3}{5^4} \)
   Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( \frac{5^{6+3}}{5^4} = \frac{5^9}{5^4} \)
   Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{9-4} = 5^5 \)
   Вычислим степень: \( 5^5 = 3125 \)

Ответ: а) 27; б) 3125.