3. В прямоугольном треугольнике АСВ проведена высота CD. Гипотенуза АВ равна 10 см, угол СВА = 30°. Найдите BD.

Пошаговое решение:

• В прямоугольном треугольнике ACB:
• Угол CAB = 90° - угол CBA = 90° - 30° = 60°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол CDB = 90°.
• Угол BCD = 90° - угол CBA = 90° - 30° = 60°.
• В треугольнике CBD, гипотенуза CB.
• Найдем длину гипотенузы CB в треугольнике ACB. Используем синус: \( \frac{AC}{AB} = \text{sin}(30°) \) и \( \frac{CB}{AB} = \text{cos}(30°) \).
• \( CB = AB \times \text{cos}(30°) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
• Теперь в прямоугольном треугольнике CBD, гипотенуза CB = \( 5\sqrt{3} \) см, угол CBA = 30°.
• Найдем BD, используя косинус: \( \frac{BD}{CB} = \text{cos}(30°) \).
• \( BD = CB \times \text{cos}(30°) = 5\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.

Ответ: 7.5 см