3. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, \(\angle BOC = 140^\circ\). Найдите \(\angle BAC\), если точка А лежит на меньшей дуге ВС.

Решение:

Центральный угол \(\angle BOC\) равен градусной мере дуги BC, на которую он опирается. Следовательно, дуга BC = \(140^\circ\).

Вписанный угол \(\angle BAC\) опирается на дугу BC. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

\(\angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC\)

\(\angle BAC = \frac{1}{2} \times 140^\circ\)

\(\angle BAC = 70^\circ\)

Условие «если точка А лежит на меньшей дуге ВС» означает, что \(\angle BAC\) опирается на большую дугу BC. Однако, обычно, если не указано иное, \(\angle BAC\) опирается на дугу BC, которая меньше 180 градусов, если \(\angle BOC < 180^\circ\).

Если \(\angle BOC = 140^\circ\) — это центральный угол, опирающийся на дугу BC, то дуга BC = \(140^\circ\).

Вписанный угол \(\angle BAC\) опирается на эту дугу. Тогда \(\angle BAC = 140^\circ / 2 = 70^\circ\).

Если бы точка А лежала на большей дуге, а \(\angle BOC = 140^\circ\) был бы тупой, то вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу, был бы \(70^\circ\). А вписанный угол, опирающийся на большую дугу (360 - 140 = 220), был бы \(220/2 = 110^\circ\).

Поскольку сказано, что точка А лежит на меньшей дуге ВС, то \(\angle BAC\) опирается на большую дугу. Большая дуга BC = \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\).

\(\angle BAC = \frac{1}{2} \times (\text{большая дуга } BC)\)

\(\angle BAC = \frac{1}{2} \times 220^\circ\)

\(\angle BAC = 110^\circ\).

Перепроверим:

Центральный угол BOC = 140°. Этот угол соответствует меньшей дуге BC. Значит, меньшая дуга BC = 140°.

Большая дуга BC = 360° - 140° = 220°.

Вписанный угол BAC опирается на дугу BC.

Если точка А лежит на меньшей дуге BC, то угол BAC опирается на большую дугу BC.

\(\angle BAC = \frac{1}{2} \times \text{большая дуга BC} = \frac{1}{2} \times 220^\circ = 110^\circ\).

Ответ: \(110^\circ\)