3. Касательные к окружности с центром О в точках А и В пересекаются под углом 82°. Найдите \(\angle ABO\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных будет P. Тогда \( \angle APB = 82^\circ \).

Так как PA и PB — касательные, проведенные из одной точки, то \( PA = PB \). Треугольник PAB — равнобедренный.

\( \angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - 82^\circ}{2} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ \).

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OAP = 90^\circ \) и \( \angle OBP = 90^\circ \).

В четырехугольнике PAOB сумма углов равна 360°:

\( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^\circ \)

\( \angle AOB + 90^\circ + 82^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)

\( \angle AOB + 262^\circ = 360^\circ \)

\( \angle AOB = 360^\circ - 262^\circ = 98^\circ \).

Рассмотрим треугольник OAB. OA = OB (радиусы), значит, треугольник OAB — равнобедренный.

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 98^\circ}{2} = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ \).

Ответ: 41.