3. Какую цифру вместо звёздочки надо поставить в запись *3 517, чтобы получилось число, кратное 9?

Решение:

Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9.

Пусть неизвестная цифра равна \( x \). Запись числа: \( x3517 \).

Сумма цифр числа: \( x + 3 + 5 + 1 + 7 = x + 16 \).

Чтобы число было кратно 9, сумма \( x + 16 \) должна быть кратна 9.

\( x \) — это цифра, поэтому \( x \) может быть от 0 до 9.

Переберем возможные значения \( x \):

• Если \( x = 0 \), сумма = \( 0 + 16 = 16 \) (не кратно 9).
• Если \( x = 1 \), сумма = \( 1 + 16 = 17 \) (не кратно 9).
• Если \( x = 2 \), сумма = \( 2 + 16 = 18 \) (кратно 9).
• Если \( x = 3 \), сумма = \( 3 + 16 = 19 \) (не кратно 9).
• ...
• Если \( x = 9 \), сумма = \( 9 + 16 = 25 \) (не кратно 9).

Единственное значение \( x \), при котором сумма цифр кратна 9, это \( x = 2 \).

Проверим: число 23517. Сумма цифр = \( 2 + 3 + 5 + 1 + 7 = 18 \). \( 18 \) делится на 9. \( 23517 : 9 = 2613 \).

Ответ: 2.