22. Постройте график функции y = |x| - |x - 3|. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ:

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = |x| - |x - 3| \) в зависимости от значений \( x \).

1. Если \( x < 0 \): \( y = -x - (-(x-3)) = -x + x - 3 = -3 \).
2. Если \( 0 \le x \le 3 \): \( y = x - (-(x-3)) = x + x - 3 = 2x - 3 \).
3. Если \( x > 3 \): \( y = x - (x - 3) = x - x + 3 = 3 \).

График функции состоит из трех частей:

• При \( x < 0 \) — горизонтальная прямая \( y = -3 \).
• При \( 0 \le x \le 3 \) — прямая \( y = 2x - 3 \).
• При \( x > 3 \) — горизонтальная прямая \( y = 3 \).

Построим график:

• На промежутке \( x < 0 \), \( y = -3 \).
• На промежутке \( 0 \le x \le 3 \):
• При \( x=0 \), \( y = 2(0) - 3 = -3 \).
• При \( x=3 \), \( y = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 \).
• На промежутке \( x > 3 \), \( y = 3 \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Проведя горизонтальные линии \( y = m \) на графике, видим, что ровно две общие точки возникают, когда \( m \) находится между значениями \( -3 \) и \( 3 \), не включая их.

Ответ: \( m \in (-3; 3) \)