22. Постройте график функции \(y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения исходной функции: \(x\ne0\), \(x\ne\dfrac54\). При этих значениях \(y=\dfrac1x\).

График — гипербола \(y=1/x\) с выколотой точкой \((\dfrac54,\dfrac45)\). Пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют \(1/x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k\le0\) решений нет. При \(k>0\) обычно есть два пересечения. Ровно одно останется, если одно из двух решений совпадает с исключённым значением \(x=\dfrac54\): тогда \(k=1/(\frac54)^2=\dfrac{16}{25}\). Второе решение при этом допустимо.

Ответ: \(k=\dfrac{16}{25}\).