17. В прямоугольнике диагональ равна 16, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны равна 8. Найдите площадь прямоугольника, умноженную на √3.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Однако в данном случае нам дана диагональ и одна из сторон.

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагональ AC = 16. Угол между диагональю AC и стороной AB равен 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Катет AB (сторона прямоугольника) найдём как прилежащий к углу 30°: \( AB = AC \cdot \cos(30°) \)
• \( AB = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \)
• Катет BC (вторая сторона прямоугольника) найдём как противолежащий углу 30°: \( BC = AC \cdot \sin(30°) \)
• \( BC = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \)

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\( S = AB \cdot BC = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3} \)

По условию задачи, длина одной из сторон равна 8. Проверим, совпадает ли это с нашими расчётами.

В условии сказано: "...длина этой стороны равна 8." Это соответствует стороне BC.

Найдем площадь прямоугольника: \( S = AB \cdot BC \)

\( S = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3} \)

Требуется найти площадь прямоугольника, умноженную на \( \sqrt{3} \):

\( S \cdot \sqrt{3} = 64\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 64 \cdot 3 = 192 \)

Ответ: 192.