214. Решить уравнения: 1) $3^{2x+1}-2=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $\frac{x-1}{2^{x-2}}=4$; 4) $0{,}5^{1/x}=4^{1/(x+1)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 214. Решить уравнения: 1) $3^{2x+1}-2=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $\frac{x-1}{2^{x-2}}=4$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

$3^{2x+1}=3=3^1$, поэтому $2x+1=1$, откуда $x=0$.
Степень числа 2 равна 1, когда показатель равен нулю: $x^2-7x+10=0=(x-2)(x-5)$. Ответы: $x=2,5$.
Область определения: любое действительное $x$, поскольку знаменатель положителен. Уравнение равносильно $x-1=2^x$. Левая часть не превосходит правую при любом действительном $x$ (для $x\le1$ левая неположительна, а для $x>1$ выполняется $2^x>x$). Решений нет.
Область определения: $x\ne0,-1$. Запишем оба выражения с основанием 2: $2^{-1/x}=2^{2/(x+1)}$. Тогда $-1/x=2/(x+1)$, откуда $-x=2x+2$, то есть $x=-\frac23$. Это значение допустимо.

Ответ: 1) 0; 2) 2 и 5; 3) решений нет; 4) $-\frac23$.

214. Решить уравнения: 1) \(3^{2x+1}-2=1\); 2) \(2^{x^2-7x+10}=1\); 3) \(\frac{x-1}{2^{x-2}}=4\); 4) \(0{,}5^{1/x}=4^{1/(x+1)}\).