20. Вычислите: \( 2 \frac{1}{2} + \frac{9}{16} \cdot 1 \frac{5}{27} - 3 \frac{3}{7} : \frac{27}{28} \)

Решение:

Выполним действия в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 2 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} \)
• \( 1 \frac{5}{27} = \frac{1 \cdot 27 + 5}{27} = \frac{32}{27} \)
• \( 3 \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7} \)
2. Выполним умножение: \( \frac{9}{16} \cdot \frac{32}{27} \)
• Сократим общие множители: \( \frac{9}{16} \cdot \frac{32}{27} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 16}{16 \cdot 3 \cdot 9} = \frac{2}{3} \)
3. Выполним деление: \( \frac{24}{7} \div \frac{27}{28} \)
• \( \frac{24}{7} \div \frac{27}{28} = \frac{24}{7} \cdot \frac{28}{27} \)
• Сократим общие множители: \( \frac{24 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 27} = \frac{24 \cdot 4}{27} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 4}{9 \cdot 3} = \frac{32}{9} \)
4. Теперь выполним сложение и вычитание: \( \frac{5}{2} + \frac{2}{3} - \frac{32}{9} \)
5. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2, 3 и 9 равен 18.
• \( \frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{45}{18} \)
• \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{12}{18} \)
• \( \frac{32}{9} = \frac{32 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{64}{18} \)
6. Выполним действия: \( \frac{45}{18} + \frac{12}{18} - \frac{64}{18} = \frac{45 + 12 - 64}{18} = \frac{57 - 64}{18} = \frac{-7}{18} \)

Ответ: \( -\frac{7}{18} \)