20. Решить уравнение (x-2)²(x-3)² = 20

Решение:

1. Заметим, что уравнение можно переписать как [(x-2)(x-3)]² = 20.
2. Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
• (x-2)(x-3) = x² - 3x - 2x + 6 = x² - 5x + 6.
3. Теперь уравнение имеет вид: (x² - 5x + 6)² = 20.
4. Извлечем квадратный корень из обеих частей:
• x² - 5x + 6 = ±√20.
• √20 = √(4 * 5) = 2√5.
5. Получаем два квадратных уравнения:
• Уравнение 1: x² - 5x + 6 = 2√5
• x² - 5x + (6 - 2√5) = 0.
• Дискриминант D₁ = (-5)² - 4 * 1 * (6 - 2√5) = 25 - 24 + 8√5 = 1 + 8√5.
• x₁,₂ = (5 ± √(1 + 8√5)) / 2.
6. Уравнение 2: x² - 5x + 6 = -2√5
7. x² - 5x + (6 + 2√5) = 0.
8. Дискриминант D₂ = (-5)² - 4 * 1 * (6 + 2√5) = 25 - 24 - 8√5 = 1 - 8√5.
9. Так как 8√5 ≈ 8 * 2.236 = 17.888, то 1 - 8√5 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней.
10. Таким образом, действительными корнями являются:
• x = (5 + √(1 + 8√5)) / 2
• x = (5 - √(1 + 8√5)) / 2

Ответ: x = (5 ± √(1 + 8√5)) / 2