20. Радиус основания цилиндра равен 16 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите объём цилиндра.

Дано:

Цилиндр.

Радиус основания \( R = 16 \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 2 S_{осн} \).

Найти:

Объём цилиндра \( V \).

Решение:

1. Найдем площадь основания цилиндра:
2. \( S_{осн} = \pi R^2 = \pi (16 \text{ см})^2 = 256\pi \text{ см}^2 \).
3. Найдем площадь боковой поверхности:
4. \( S_{бок} = 2 S_{осн} = 2 \cdot 256\pi \text{ см}^2 = 512\pi \text{ см}^2 \).
5. Площадь боковой поверхности цилиндра также вычисляется по формуле \( S_{бок} = 2\pi R h \), где \( h \) — высота цилиндра.
6. Найдем высоту цилиндра:
7. \( 2\pi R h = 512\pi \)
8. \( 2\pi (16 \text{ см}) h = 512\pi \text{ см}^2 \)
9. \( 32\pi h \text{ см} = 512\pi \text{ см}^2 \)
10. \( h = \frac{512\pi \text{ см}^2}{32\pi \text{ см}} = 16 \text{ см} \)
11. Найдем объём цилиндра по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \):
12. \( V = 256\pi \text{ см}^2 \cdot 16 \text{ см} = 4096\pi \text{ см}^3 \).

Ответ: \( 4096\pi \text{ см}^3 \)