Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для решения рационального неравенства \( \frac{x^2-2x-3}{(x+3)(x-4)} \le 0 \) методом интервалов:
- Найдем корни числителя и знаменателя.
- Числитель: \( x^2-2x-3 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1+x_2 = 2 \), \( x_1x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
- Знаменатель: \( (x+3)(x-4) = 0 \). Корни: \( x = -3 \) и \( x = 4 \).
- Учитываем, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \ne -3 \) и \( x \ne 4 \).
- Отметим все корни на числовой прямой: \( -3, -1, 3, 4 \).
- Определим знаки на интервалах. Возьмем пробные точки:
- Интервал \( (-\infty, -3) \): Возьмем \( x = -4 \). \( \frac{(-4)^2 - 2(-4) - 3}{(-4+3)(-4-4)} = \frac{16+8-3}{(-1)(-8)} = \frac{21}{8} > 0 \)
- Интервал \( (-3, -1] \): Возьмем \( x = -2 \). \( \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{(-2+3)(-2-4)} = \frac{4+4-3}{(1)(-6)} = \frac{5}{-6} < 0 \). Включаем \( x = -1 \) (корень числителя).
- Интервал \( [-1, 3] \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0^2 - 2(0) - 3}{(0+3)(0-4)} = \frac{-3}{(3)(-4)} = \frac{-3}{-12} = \frac{1}{4} > 0 \). Включаем \( x = 3 \) (корень числителя).
- Интервал \( (3, 4) \): Возьмем \( x = 3.5 \). \( \frac{(3.5)^2 - 2(3.5) - 3}{(3.5+3)(3.5-4)} = \frac{12.25 - 7 - 3}{(6.5)(-0.5)} = \frac{2.25}{-3.25} < 0 \).
- Интервал \( (4, \infty) \): Возьмем \( x = 5 \). \( \frac{5^2 - 2(5) - 3}{(5+3)(5-4)} = \frac{25-10-3}{(8)(1)} = \frac{12}{8} > 0 \)
- Нам нужно, где выражение \( \le 0 \). Это интервалы \( (-3, -1] \) и \( (3, 4) \).
Ответ: \( (-3, -1] \cup (3, 4) \)
