17. Решите неравенство: log₃(5x-9) ≥ log₃ 4x

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_3(5x-9) \ge \log_3(4x) \) необходимо учесть два условия:

1. ОДЗ (Область допустимых значений):
2. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
3. \( 5x - 9 > 0 \Rightarrow 5x > 9 \Rightarrow x > \frac{9}{5} \)
4. \( 4x > 0 \Rightarrow x > 0 \)
5. Объединяя оба условия, получаем \( x > \frac{9}{5} \).
6. Решение неравенства:
7. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( \log_3 x \) является возрастающей. Следовательно, мы можем опустить знаки логарифма, сохранив знак неравенства:
8. \( 5x - 9 \ge 4x \)
9. \( 5x - 4x \ge 9 \)
10. \( x \ge 9 \)
11. Пересечение ОДЗ и решения неравенства:
12. У нас есть условия \( x > \frac{9}{5} \) и \( x \ge 9 \).
13. Так как \( \frac{9}{5} = 1.8 \), то \( x \ge 9 \) полностью удовлетворяет условию \( x > 1.8 \).

Ответ: \( x \ge 9 \)